সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর(Conversion of Number System)

 Skip to co

সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর(Conversion of Number System)

এক সংখ্যা পদ্ধতি থেকে অন্য সংখ্যা পদ্ধতিতে পরিবর্তন করাকে সংখ্যা পদ্ধতির রুপান্তর বলে। আমরা
দশমিক,বাইনারি,অক্টাল,হেক্সাডেসিমাল ও অন্যান্য ভিত্তি বিশিষ্ট সংখ্যা পদ্ধতির মধ্যে খুব সহজেই পারস্পারিক পরিবর্তন করতে পারি। এবং এই পরিবর্তনগুলো আমরা নিম্নোক্ত ৪টি প্রধান নিয়মে শিখতে পারি-

নিয়ম-০১: দশমিক সংখ্যা থেকে বাইনারি,অক্টাল,হেক্সাডেসিমাল ও অন্যান্য ভিত্তি বিশিষ্ট সংখ্যায় রুপান্তর।
অর্থাৎ দশমিক সংখ্যা থেকে অন্য যে কোন সংখ্যায় রুপান্তর।
***যে কোন সংখ্যার ১ বা ২ টি অংশ থাকতে পারে। যথা-পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশ। নিচে পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে নিয়মসহ রুপান্তর দেখানো হলো-

পূর্ণাংশের ক্ষেত্রে-
ধাপ-০১: যে সংখ্যা পদ্ধতিতে রুপান্তর করবো তার বেস বা ভিত্তি দিয়ে দশমিক পূর্ণ সংখ্যাটিকে ভাগ করে ভাগফল ও ভাগশেষ লিখি।
ধাপ-০২: প্রাপ্ত ভাগফলকে আবার কাঙ্খিত সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি দিয়ে ভাগ করে ভাগফল ও ভাগশেষ লিখি।
ধাপ-০৩: এইভাবে(ধাপ-০২ অনুসারে) পর্যায়ক্রমে ভাগ করতে থাকি যতক্ষণ না ভাগফলের ঘরে শূন্য হয়।
ধাপ-০৪: সংরক্ষিত ভাগশেষ গুলিকে নিচ থেকে উপরের দিকে পর্যায়ক্রমে সাজিয়ে লিখলে যে সংখ্যাটি পওয়া যায় তাই হলো রুপান্তরিত কাঙ্খিত সংখ্যাটি।

উদাহরণ-১: (23)₁₀ কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (23)₁₀ । সংখ্যাটিকে বাইনারিতে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির বেস 2 দ্বারা ভাগ করতে হবে।

সংখ্যাটি(23)	ভাগফল	ভাগশেষ
23÷2	11	1
11÷2	5	1
5÷2	2	1
2÷2	1	0
1÷2	0	1

এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (23)₁₀=(10111)₂ (Ans.)

উদাহরণ-২: (469)₁₀ কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (469)₁₀ । সংখ্যাটিকে অক্টালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতির বেস 8 দ্বারা ভাগ করতে হবে।

সংখ্যাটি(469)	ভাগফল	ভাগশেষ
469÷8	58	5
58÷8	7	2
7÷8	0	7

এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (469)₁₀=(725)₈ (Ans.)

উদাহরণ-৩: (436)₁₀ কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (436)₁₀ । সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিমালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা পদ্ধতির বেস 16 দ্বারা ভাগ করতে হবে।

সংখ্যাটি(436)	ভাগফল	ভাগশেষ
436÷16	27	4
27÷16	1	11(B)
1÷16	0	1

এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (436)₁₀=(1B4)₁₆ (Ans.)

উদাহরণ-৪: (58)₁₀ কে 6 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি (58)₁₀ । সংখ্যাটিকে 6 ভিত্তিক সংখ্যায় প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে ভিত্তি 6 দ্বারা ভাগ করতে হবে।(এক কথায় যা বানাবো তার ভিত্তি দিয়ে ভাগ করতে হবে)

সংখ্যাটি(58)	ভাগফল	ভাগশেষ
58÷6	9	4
9÷6	1	3
1÷6	0	1

এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (58)₁₀=(134)₆ (Ans.)

বাড়ির কাজ: (209)₁₀ সংখ্যাটিকে বাইনারি, অক্টাল, হেক্সাডেসিমাল ও 5 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।

 

ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে-
ধাপ-০১: যে সংখ্যা পদ্ধতিতে রুপান্তর করবো তার বেস বা ভিত্তি দিয়ে দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যাটিকে গুন করে গুনফলের পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশ লিখি।
ধাপ-০২: প্রাপ্ত ভগ্নাংশকে আবার কাঙ্খিত সংখ্যা পদ্ধতির বেস দিয়ে গুন করে গুনফলের পূর্ণাংশ ও ভগ্নাংশ লিখি।
ধাপ-০৩: এইভাবে(ধাপ-০২ অনুসারে) পর্যায়ক্রমে গুন করতে থাকি যতক্ষণ না ভগ্নাংশের ঘরে শূন্য হয়।
ধাপ-০৪: সংরক্ষিত পূর্ণাংশ গুলিকে উপর থেকে নিচের দিকে পর্যায়ক্রমে সাজিয়ে লিখলে যে সংখ্যাটি পওয়া যায় তাই হলো রুপান্তরিত কাঙ্খিত সংখ্যাটি।(এক্ষেত্রে সাজিয়ে লেখার সময় প্রথমে পয়েন্ট দিয়ে নিতে হবে এবং ৩/৪ বার গুন করার পরেও যদি ভগ্নাংশের ঘরে শূন্য না হয় সেক্ষেত্রে গুন করা বন্ধ করে দিয়ে উত্তর লিখলেই হবে)

উদাহরণ-৫: ( .625)₁₀ কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি ( .625)₁₀ । সংখ্যাটিকে বাইনারিতে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে বাইনারি সংখ্যার ভিত্তি 2 দ্বারা সংখ্যাটিকে গুন করতে হবে।

সংখ্যাটি(.625)	পূর্ণাংশ	ভগ্নাংশ
.625×2=1.25	1	.25
.25×2=0.5	0	.5
.5×2=1 বা 1.0	1	0

এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, ( .625)₁₀=( .101)₂   (Ans.)

উদাহরণ-৬: ( .247)₁₀ কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটি ( .247)₁₀ । সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিমালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যার ভিত্তি 16 দ্বারা ( .247)₁₀ সংখ্যাটিকে গুন করতে হবে।

সংখ্যাটি( .247)	পূর্ণাংশ	ভগ্নাংশ
.247×16=3.952	3	.952
.925×16=15.232	15(F)	.232
.232×16=3.712	3	.712
.712×16=11.392	11(B)	.392

এখন ধাপ-০৪ অনুসারে, (.247)₁₀=( .3F3B…………….)₁₆ (Ans.)    বি.দ্র.: এখানে যেহেতু ৪বার গুন করার পরেও ভগ্নাংশ শূন্য হয়নি তাই উত্তর অংশের শেষে (…..) ব্যবহার করা হয়েছে।

 

র্পূণাংশ ও ভগ্নাংশ একই সংখ্যায় থাকলে-
প্রথমত: র্পূণাংশ ও ভগ্নাংশ আলাদা করে নিতে হবে।
দ্বিতীয়ত: র্পূণাংশ ও ভগ্নাংশের নিয়ম অনুসারে রুপান্তর করতে হবে এবং উত্তর লেখার সময় একসাথে লিখতে হবে। যেমন-

উদাহরণ-৭: (257.32)₁₀ কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান: এখানে প্রদত্ত সংখ্যাটির দুটি অংশ রয়েছে একটি র্পূণাংশ=(257)₁₀ এবং ভগ্নাংশ= (.32)₁₀ । সংখ্যাটিকে অক্টালে প্রকাশ করতে হলে নিয়ম অনুসারে পূর্ণাংশকে অক্টালের ভিত্তি 8 দ্বারা ভাগ করতে হবে। এবং ভগ্নাংশকে 8 দ্বারা গুন করতে হবে-

র্পূণাংশ=(257)10	ভগ্নাংশ= (.32)10
সংখ্যাটি( 257)  ভাগফল ভাগশেষ 257÷8 32 1 32÷8 4 0 4÷8 0 4	সংখ্যাটি( .32) পূর্ণাংশ ভগ্নাংশ .32×8=2.56 2 .56 .56×8=4.48 4 .48 .48×8=3.84 3 .84  .84×8=6.72 6 .72
এখানে, (257)10=(401)8	এবং (.32)10=( .2436………)8
অতএব, (257.32)10=( 401.2436……… )8      (Ans.)

 

নিয়ম-০২: বাইনারি,অক্টাল,হেক্সাডেসিমাল ও অন্যান্য ভিত্তি বিশিষ্ট সংখ্যা থেকে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর।
অর্থাৎ  যে কোন সংখ্যা থেকে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর। ( গুন প্রক্রিয়া )

ধাপ-০১: প্রদত্ত সংখ্যার প্রতিটি অঙ্ক বা ডিজিটকে সংখ্যাটির বেস বা ভিত্তি দিয়ে গুন করি এবং প্রতিটি গুনফলের মাঝে যোগ চিহ্ন দিই।(পয়েন্ট থাকলে না বসাই)
ধাপ-০২: প্রতিটি ডিজিটের পজিশন সংখ্যাকে পাওয়ার হিসেবে বসাই।[পূর্ন সংখ্যার ক্ষেত্রে ডিজিট পজিশন শুরু হয় ০ থেকে (ডান থেকে বাম দিকে) এবং ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে ডিজিট পজিশন শুরু হয় -১ থেকে (বাম থেকে ডান দিকে)]
ধাপ-০৩: গাণিতিক হিসাবের মাধ্যমে প্রাপ্ত যোগফলই হবে নির্নেয় দশমিক সংখ্যা।

উদাহরণ-৮: (1011010)₂ কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
(1011010)₂
=(1×2⁶)+(0×2⁵)+(1×2⁴)+(1×2³)+(0×2²)+(1×2¹)+(0×2⁰) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ]
=64+0+16+8+0+2+0  [গাণিতিক হিসাব ]
=90
সুতরাং, (1011010)₂=(90)₁₀ (Ans.)

উদাহরণ-৯: (7BC)₁₆ কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
(7BC)₁₆
=(7×16²)+(B×16¹)+(C×16⁰) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ]
=(7×256)+(11×16)+(12×1) [গাণিতিক হিসাব ]
=1792+616+12
=2420
সুতরাং, (7BC)₁₆=(2420)₁₀ (Ans.)

উদাহরণ-১০: (101110.101)₂ কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
(101110.101)₂
=(1×2⁵)+(0×2⁴)+(1×2³)+(1×2²)+(1×2¹)+(0×2⁰)+(1×2^-1)+(0×2^-2)+(1×2^-3) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ]
=(1×32)+(0×16)+(1×8)+(1×4)+(1×2)+(0×1)+(1×0.5)+(0×0.25)+(1×0.125)
=32+0+8+4+2+0+0.5+0+0.125
=46.625
সুতরাং, (101110.101)₂=(46)₁₀     (Ans.)

উদাহরণ-১১: (123.540)₈ কে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
(123.540)₈
=(1×8²)+(2×8¹)+(3×8⁰)+(5×8^-1)+(4×8^-2)+(0×8^-3)   [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ]
=(1×64)+(2×8)+(3×1)+(5×0.125)+(4×0.015625)+0
=64+16+3+0.625+0.0625+0
=83.6875
সুতরাং, (123.540)₈=(83.6875)₁₀     (Ans.)

নিয়ম-০৩: নন-ডেসিমাল অর্থাৎ বাইনারি,অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল সংখ্যার মধ্যে পারস্পারিক পরিবর্তন

• বাইনারি → থেকে → অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর।
• অক্টাল ও হেক্সাডেসিমাল → থেকে → বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর।
• অক্টাল → থেকে → হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর।
• হেক্সাডেসিমাল → থেকে → অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর।

(নিয়ম-০৩ হলো বিট পদ্ধতি,এখানে যে সংখ্যাটি দেওয়া থাকবে এবং যে সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে দুটির একটিতেও দশমিক সংখ্যা থাকবে না। বিট পদ্ধতি ২ ধরনের। যথা-
ক.অক্টাল তিন বিটের, যার বিট তিনটির ফর্মুলা হলো →(4 2 1)
খ.হেক্সাডেসিমাল চার বিটের, যার বিট চারটি ফর্মুলা হলো →(8 4 2 1)

অক্টাল সংখ্যা	বাইনারি বিট(4 2 1)	হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা	বাইনারি বিট(8 4 2 1)
0	000	0	0000
1	001	1	0001
2	010	2	0010
3	011	3	0011
4	100	4	0100
5	101	5	0101
6	110	6	0110
7	111	7	0111
		8	1000
		9	1001
		A	1010
		B	1011
		C	1100
		D	1101
		E	1110
		F	1111

 

বাইনারি থেকে অক্টাল বা হেক্সাডেসিমাল-
ধাপ-১: পূর্ণ সংখ্যার ক্ষেত্রে সংখ্যাটির ডান থেকে বাম দিকে ৩-বিট(অক্টাল)/৪-বিট(হেক্সাডেসিমাল) করে গ্রুপ করে নিতে হবে এবং ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে বাম থেকে ডান দিকে ৩-বিট(অক্টাল)/৪-বিট(হেক্সাডেসিমাল) করে গ্রুপ করতে হবে । (এক্ষেত্রে গ্রুপ করতে বামে বিট কম পড়লে বামে এবং ডানে বিট কম পড়লে ডানে শূন্য বসিয়ে বিট পূরন করে নিতে হবে)
ধাপ-২: অতপর প্রতিটি ৩-বিট(অক্টাল)/৪-বিট(হেক্সাডেসিমাল) গ্রুপের আলাদা ভাবে অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল মান লিখতে হবে।
ধাপ-৩: অবশেষে প্রাপ্ত অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল মান গুলিকে পাশাপাশি সাজিয়ে লিখলে বাইনারি সংখ্যাটির সমতূল্য অক্টাল/হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পাওয়া যাবে।

উদাহরণ-১২: (111011101.1010111)₂ কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি →    (11101110.1010111)
তিন বিট গ্রুপ → 011 101 110 . 101 011 100
অক্টাল মান →      3     5     6   .   5    3     4

সুতরাং, (111011101.1010111)₂=(356.534)₈     (Ans.)

উদাহরণ-১৩: (11011101.1010111)₂ কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি →               (1101110.1010111)
চার বিট গ্রুপ →             0110  1110 .1010  1110
হেক্সাডেসিমাল মান →      6         E    .   A        E

সুতরাং, (11011101.1010111)₂=(6E.AE)₁₆     (Ans.)

অক্টাল বা হেক্সাডেসিমাল থেকে বাইনারিতে প্রকাশ
ধাপ-০১: অক্টাল/হেক্সাডেসিমাল সংখ্যার প্রতিটি ডিজিটের তিন/চার বিট বাইনারি মান লিখতে হবে।(বিট ফর্মুলা ব্যবহার করে)
ধাপ-০১: প্রাপ্ত বাইনারি মান গুলিকে পাশাপাশি সাজিয়ে লিখলে অক্টাল/হেক্সাডেসিমাল সংখ্যাটির সমতূল্য বাইনারি সংখ্যা পাওয়া যাবে।

উদাহরণ-১৫: (356.57)₈ কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি →              (356.57)₈
তিন বিট বাইনারি মান → 110  101 110  .101  111

সুতরাং, (356.57)₈=(110101110.101111)₂     (Ans.)

উদাহরণ-১৬: (B6A.C7)₁₆ কে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি →            (B6A.C7)₁₆
চার বিট বাইনারি মান → 1011  1100 1010  .1100  0111

সুতরাং, (B6A.C7)₁₆=(101111001010.11000111)₂     (Ans.)

অক্টাল থেকে হেক্সাডেসিমাল
ধাপ-১: প্রথমে অক্টাল সংখ্যাটিকে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে
ধাপ-২: প্রাপ্ত বাইনারি সংখ্যাটিকে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে

উদাহরণ-১৬: (356.57)₈ কে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি →              (356.57)₈
তিন বিট বাইনারি মান → 110  101 110  .101  111
চার বিট গ্রুপ →           0001  1010  1110 .1011  1100
হেক্সাডেসিমাল মান →     1         A       E   .   B       C

সুতরাং, (356.57)₈=(1AE.BC)₂     (Ans.)

হেক্সাডেসিমাল থেকে অক্টাল
ধাপ-১: প্রথমে হেক্সাডেসিমাল সংখ্যাটিকে বাইনারি সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে
ধাপ-২: প্রাপ্ত বাইনারি সংখ্যাটিকে অক্টাল সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে

উদাহরণ-১৭: (5C4.A7)₁₆ কে অক্টাল সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাটি →                (5C4.A7)₁₆
চার বিট বাইনারি মান → 0101  1100 0100  .1010  0111
তিন বিট গ্রুপ →           010 111  000  100 .101  001  110
অক্টাল মান →                 2    7       0     4   .  5     1       6

সুতরাং, (5C4.A7)₁₆=(2704.516)₈     (Ans.)

নিয়ম-০৪: দুটি অপরিচিত বেস বিশিষ্ট  সংখ্যার মধ্যে পারস্পারিক পরিবর্তন (2,8,10,16 বেস ব্যাতিত/2,8,10 বেস ব্যাতিত/2,10,16 বেস ব্যাতিত সংখ্যা থাকলে)
ধাপ-০১: প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাটিকে দশমিক সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে।(নিয়ম-০২ ব্যবহার করে অর্থাৎ গুন পদ্ধতি)
ধাপ-০২: প্রাপ্ত দশমিক সংখ্যাটিকে কাঙ্খিত সংখ্যায় রুপান্তর।(নিয়ম-০১ ব্যবহার করে অর্থাৎ ভাগ পদ্ধতি)

উদাহরণ-১৮: (452)₆ কে 4 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর কর।
সমাধান:
প্রথমত প্রদত্ত সংখ্যাটি (452)₆ কে দশমিকে রুপান্তর করতে হবে-
(452)₆
=(4×6²)+(5×6¹)+(2×6⁰) [ ধাপ ১ ও ২ অনুসারে ]
=(4×36)+(5×6)+(2×1) [গাণিতিক হিসাব ]
=144+30+2
=175
সুতরাং, (452)₆=(175)₁₀

দ্বিতীয়ত প্রাপ্ত সংখ্যাটি (175)₁₀ কে 4 ভিত্তিক সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে-

সংখ্যাটি(175)	ভাগফল	ভাগশেষ
175÷4	43	3
43÷4	10	3
10÷4	2	2
2÷4	0	2

সুতরাং, (175)₁₀=(2233)₄
অতএব, (452)₆=(2233)_{4    (Ans.)}

বি.দ্র.: নিয়ম-০৪ এর মতো নিয়ম-০৩ এর রুপান্তর গুলিও করা সম্ভব।

 

 

তৃতীয় অধ্যায় লেকচার-০১:সংখ্যা পদ্ধতি ও এর প্রকারভেদ।

---

Written by

Mamun ict(CSE)

Email:mamunict201@gmail.com
Cell: +8801716308201

Jhenaigati,Sherpur.

Sharing is caring!

• H
• S
• C
• I
• C
• T

❯